Socio, pon una batería nueva de marca, acorde con tu motor y verás cómo los problemas desaparecen.
NO pongas una de marca rara o una Varta de esas que hay en carrefour o Aurgy, que son de gama baja. Pon una Varta de gama alta, una Bosch silver o la original Renault, pues montar otra de gama baja o marca desconocida no te va a garantizar que tenga suficiente fuerza de arranque.
Ejemplo:
En mi caso, tengo un 1.6 16V que debe montar una batería de 12V 60Ah y 600(EN). Esta batería, por tanto, debe ofrecer 600 Amperios en el momento del arranque (ENcendido). Bien, Varta tiene un modelo de 12V y 60Ah que ofrece 540 amperios en el ENcendido, lo cual NO es suficiente y provoca fallos eléctricos-electrónicos a corto plazo. Ojo con esto.
El probelma que comentas radica en que con el frío la capacidad de carga y rendimiento de toda batería cae en picado y si además esa batería está ya medio cascada por el uso, pues el frío termina por evitar que suministre de forma decuada correinte a todos los elementos del coche, empezando por las antenas que detectan la tarjeta manos libres.
Verifica qué batería monta de serie tu coche y ponla nueva respetando sus características. Ya nos contarás qué tal.
PD: Usa el buscador y pásate por el hilo de "precauciones a la hora de desconectar la batería" para que luego tengas en cuenta ciertas cosas que hay que hacer al montar la nueva.
Un saludo!